Persamaan Garis Singgung

HUBUNGAN ANTARA GARIS LURUS DAN PARABOLA

A. Deskriminan
a. Garis memotong pada dua titik yang berlainan.
b. Garis yang menyinggung parabola garis memotong parabola pada titik
yang sama.
c. Garis yang tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.



Perhatikan gambar diatas:
a. Jika D > 0, maka ada dua nilai x rill dan berlainan hal ini berarti garis memotong parabola pada dua titik yang berlainan.
b. Jika D = 0, maka ada dua nilai x yang rill dan sama. Hal ini berarti bahwa garis menyinggung parabola.
c. Jika D < 0, maka tidak ada nilai x yang rill. Hal ini berarti bahwa garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola. D = Deskriminan D = b2 – 4 ac Contoh soal: 1). Carilah posisi dari garis parabola dibawah ini : a. Y = x – 1 dan Y = - x 2 + 6x – 5 Jawab : Y = x – 1 Y = - x2 + 6 x – 5 0 = x2 – 5 x + 4 D = b2 – 4 ac = (-5)2 – 4.1.4 = 25 -16 = 9>0 (D > 0)
Sehingga, garis memotong parabola pada dua titik
Titik Potongnya :
X2 – 5 x + 4 = 0
(x-4) (x-1) = 0
x = 4 atau x = 1
y = x -1 y = x -1
y = 4 – 1 y = 1 -1
y = 3 y= 0
A(4,3) B(1,0)
B. Persamaan Garis Singgung Parabola

1. Garis singgung bergradien m
a. Misalkan persamaan garis menyinggung parabola
Sehingga,

Dengan deskriminan D = b2 – 4 ac

Jadi, syarat garis menyinggung parabola adalah D = b2 – 4 ac = 0





Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola adalah


Analog: Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola

b. Misalkan persamaan garis menyinggung parabola
Sehingga,





Dengan deskriminan D = b2 – 4 ac


Jadi, syarat garis menyinggung parabola adalah D = b2 – 4 ac = 0






Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola adalah





Analog: Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola adalah


Tabel.1
Persamaan parabola Persamaan garis singgung

y = mx + p/m

y = mx - p/m
x2 = 4py y = mx – m2p
x2 = -4py y = mx + m2p
(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) + p/m
(y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) - p/m
(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p
(x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p

Contoh soal:
1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang
kergradien 2

Jawab:
Parabola y2 = 8x
4p = 8
p = 2
Maka persamaan garis singgungnya adalah:

y = 2x + 1

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola
(y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3

Jawab :
Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2)
-4x = -8
p = 2
Puncak P(2,-5)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
(y – b) = m(x – a) -
y + 5 = 3(x – 2) –
3y + 15 = 9(x – 2) -2
3y + 15 = 9x – 20
9x – 3y + 35 = 0
y = 3x -

2. Garis singgung Melalui titik ( )






Perhatikan gambar disamping yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung parabola di titik P=(X1,Y1).






a. Misalkan garis singgung maka absis titik singgungnya dapat diperoleh dari persamaan .
Selanjutnya dalam parabola:



Karena hanya ada titik singgung, maka absis nya diperoleh:




Dan ordinatnya:






Sedangkan persamaan garis dengan gradien m adalah sehingga,

………………….(1)

Titik terletak pada parabola , maka ……….…....(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh





Jadi, persamaan garis singgung parabola dititik didefenisikan dengan persamaan :


Analog: Untuk persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p(x – a) dititik
(y - b) (y1 - b) = 2p (x + x1 - 2a)


Tabel. 2
Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung
y2 = 4px yy1 = 2p(x+x1)
y2 = -4px yy1 = -2p(x+x1)
x2 = 4py xx1 = 2p(y+y1)
x2 = -4py xx1 = -2p(y+y1)
(y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a)
(y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a)
(x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b)
(x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b)









Contoh soal:

1. Carilah persamaan garis singgung di titik (–4,2) pada parabola:
a)
b)
Penyelesaian:
a) Persamaan garis singgun di (–4,2) pada parabola






b) Persamaan garis singgung di (–4,2) pada parabola